Méthodes des éléments finis

Abstract

La méthode des éléments finis est une technique de mathématiques appliquées qui consiste à développer un algorithme discret basé sur les principes de la formulation variationnelle ou faible. Cet algorithme vise à fournir une solution approximative à une équation aux dérivées partielles (EDP) définie sur un domaine compact, avec des conditions aux bords et/ou dans l'intérieur du domaine. Ces conditions peuvent être de type Dirichlet (valeurs aux bords), Neumann (gradients aux bords), ou Robin (relation entre gradients et valeurs sur le bord). L'objectif principal est donc la résolution approchée d'un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions obtenues satisfont des conditions d'existence moins strictes que celles du problème initial. La discrétisation permet d'approcher la solution. Comme pour de nombreuses méthodes numériques, en plus de l'algorithme de résolution lui-même, plusieurs questions se posent concernant la qualité de la discrétisation :  existence de solutions,  unicité de la solution,  stabilité,  convergence,  mesure de l'erreur entre la solution discrète et la solution exacte du problème initial.